
\prob{005C}{三次方程的实根}

已知关于$x$的方程

\[ x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0 \]

有且仅有一个实根，求实数$a$的取值范围。
\problabels{yellow/代数, green/取值范围问题}

\ans{$a < \sfrac34$}

\subsection{因式分解}

基本思路：将等号左边因式分解为一个一次整式和一个二次整式的积。易知该一次整式的解就是原方程的唯一一个解，而二次整式无解。由$\Delta < 0$得$a$的取值范围。

将等号左边因式分解得

\begin{align*}
  & x^3 - ax^2 - 2ax + a^2 - 1 \\
  =&{} x\cdot x^2 - ax^2 + x^2 - x^2 - ax - ax \\
  &+ x - x + (a + 1)(a - 1) \\
  =&{} x\cdot x^2 + x\cdot x - ax + x \\
  &- ax^2 - x^2 - ax - x - (a + 1)(a - 1) \\
  =&{} x(x^2 + x - a + 1) \\
  &- (a + 1)x^2 - (a + 1)x + (a + 1)(a - 1) \\
  =&{} x(x^2 + x - a + 1) - (a + 1)(x^2 + x - a + 1) \\
  =&{} (x - a - 1)(x^2 + x - a + 1) = 0 \\
\end{align*}

可知$a + 1$是原方程的唯一一个解，方程$x^2 + x - a + 1$无解，即

\begin{align*}
  \Delta &< 0 \\
  1^2 + 4(a - 1) &< 0 \\
  4a &< 3 \\
  a &< \frac34 \\
\end{align*}

综上，$a$的取值范围为$a < \sfrac34$。
